Probekapitel
→ Kapitel 💡 Hier oben ⬆️ unter "Stochastik" findest du alle Kapitel vom Lehrmittel.
Dies ist ein Probekapitel zum Thema "Der Erwartungswert". Es soll dir einen Eindruck verschaffen, wie eLessons aufgebaut ist.
Normalerweise kommt die orange Farbe in den Kapiteln nicht vor, aber hier wird sie überall dort verwendet, wo es was zu erfahren gibt.
Viel Spass beim Entdecken 😊
Der Erwartungswert
→ PDF-Dossier 💡 Die Lernenden sollten sich zu Beginn eines Themas unbedingt das Dossier herunterladen. Sie werden sowohl mit der Website, als auch mit einem PDF-Dossier arbeiten. Auf der Webseite befindet sich der ausführliche Inhalt, auch die Lerninhalte, die man sich oft bloss einmal vollständig anzuschauen braucht. Im Dossier befindet sich eine Zusammenfassung der Website mit kompakter Theorie, Lücken zum Ergänzen, Aufgaben mit Platz zum Lösen, numerische Lösungen und Links zur Webseite. Schau doch mal ins Dossier "Erwartungswert" rein 😉
Mit Links zur Webseite
→ Meta 💡 Für die Lehrperson hat es ein zusätzliches Dossier. In ihm hat es Empfehlungen und Tipps für den Unterricht. Und man findet eine Übersicht, wie lange ⌛ man für die einzelnen Kapitel in etwa benötigt. Im Dossier ist die Theorie auch vollständig (ohne Lücken) aufgeführt 🤫
Für die Lehrperson
Worum geht's?
→ Erklärvideos💡 Hier und auch weiter unten siehst du eines von vielen Erklärvideos 🎞️ Mithilfe der Videos können die Lücken im Dossier gefüllt werden. Je nach Video geht es um einen Einstieg, um die Theorie, um Beispiele, um Aufgaben oder um Tipps. Falls jemand mal nicht anwesend sein konnte 🤒, wurde nichts verpasst. Falls etwas nicht verstanden wurde 🤔, dann kann man einfach zurück gehen. Falls es zu langsam 🐌oder zu schnell 🚀 geht, dann kann man die Wiedergabegeschwindigkeit ändern.
In der beschreibenden Statistik (Vergangenheit) arbeitet man mit dem Mittelwert, dem Durchschnitt oder dem Median (siehe Beispiel).
Nun suchen wir in der Wahrscheinlichkeitstheorie (Zukunft) etwas Ähnliches.
Wir werden lernen, wie man den auf lange Sicht zu erwartenden Durchschnittswert gewisser Zufallsexperimente bestimmt.
→ Einstiegsaufgaben💡 Oft hat es zu Beginn eines Themas Einstiegsaufgaben. Hier sind es Aufgaben, welche die Lehrperson mit der Klasse durchführen kann. Andernorts sind es Aufgaben zum selbständig Erarbeiten oder mit interaktiven Videos geführte Aufgaben. Aber selbstverständlich kann die Lehrperson hier, wie auch überall sonst, vom Lehrmittel abweichen und eigene Sequenzen einbauen...
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung
Bis anhin haben wir Vorgänge betrachtet und haben dabei von einigen Ereignissen die Wahrscheinlichkeit berechnet. Berechnet man jedoch die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, so benutzt man dafür den Ausdruck Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Zufallsgrösse oder auch Zufallsvariable
In Zufallsexperimenten betrachten wir oft eine Grösse, welche vom Zufall abhängt.
Falls sich ein Zufallsexperiment auf eine Grösse bezieht, so nennt man diese Grösse Zufallsgrösse oder auch Zufallsvariable, da der Wert dieser Grösse vom Zufall abhängt.
Bei einer Zufallsgrösse gehört zu jedem Ergebnis also eine Zahl.
Erwartungswert die Formel
Im Folgenden betrachten wir in den beiden Lernaufgaben zwei Ansätze, um eine Formel für den Erwartungswert zu konstruieren. Anschliessend befassen wir uns im Video mit der Formel.
→ Links💡 Falls etwas vorkommt, das nicht unbedingt von allen gesehen werden muss, so ist es verlinkt. So behält man den Überblick und der Fokus bleibt beim Wesentlichen. Hier ist es der Lehrperson überlassen, ob sie die Formel für den Erwartungswert mit Lernaufgaben erarbeiten lassen möchte. Weiter unten ist es den Lernenden überlassen, ob sie beispielsweise eine Musterlösung benötigen. Und an anderen Stellen hat es auch Herleitungen, Verknüpfungen zu Demonstrationszwecken und andere Links...
Erwartungswert Vorgehen
→ Interaktives Video💡 Die Videos stoppen an den entscheidenden Stellen um den Lernenden interaktive Fragen zu stellen. Dadurch müssen sich die Lernenden zu den Schlüsselstellen aktiv eigene Gedanken machen und lernen dabei noch mehr 😉
Interaktives Video
Hier gehen wir gemeinsam durch eine Aufgabe. Dabei stoppt das Video an den entscheidenden Stellen und stellt dir dabei Fragen.
→ Interaktive Fragen💡 Mit Multiple Choice, Lückenfüllen, Drag and Drop und vielem mehr erhält man unverzüglich motivierendes und lernförderliches Feedback. Die Fragen sollen dabei unterstützen die Materie besser zu verstehen und helfen typische Fehler und Fehlvorstellungen im Vorhinein schon zu berichtigen.
Hab ich es verstanden?
AUFGABEN
Aufgabe 1 "Würfel"
Zwei Würfel werden geworfen. Bestimme den Erwartungswert
a) der Augensumme,
b) der höchsten Augenzahl,
c) des Produkts der Augenzahlen.
→ Musterlösungen💡 Mit Musterlösungen entfallen oft zeitaufwendige Aufgabenbesprechungen mit der ganzen Klasse. Im PDF-Dossier hat es nur numerische Lösungen. Falls man in einer Aufgabe steckenbleibt oder eine andere Lösung erhält als im Dossier, so findet man hier ausführliche Musterlösungen.
Aufgabe 3 "Anna & Bob"
Anna bietet Bob ein Spiel an:
Eine Münze wird so lange geworfen, bis Kopf oder fünfmal Zahl erscheint.
Falls beim ersten Wurf Kopf erscheint, erhält Bob 0 €, falls beim zweiten Wurf Kopf erscheint, erhält er 1 €, falls beim dritten Wurf Kopf erscheint, erhält er 2 €, falls beim vierten Wurf Kopf erscheint, erhält er 3 €, falls beim fünften Wurf Kopf erscheint, erhält er 4 €, und falls in allen fünf Würfen Zahl erscheint, erhält er 10 €.
a) Bob bezahlt pro Spielrunde einen Einsatz von 2 €.
Nach 200 Runden hat er genug und hört auf zu spielen. Warum?
b) Wie hoch müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist?
(In einem fairen Spiel ist der Einsatz gleich dem zu erwartenden Gewinn.)
Aufgabe 4 "Teilungsproblem"
Zwei Spieler legen jeweils einen Geldeinsatz von 100 Euro in einen Topf und spielen ein Glücksspiel um diese 200 Euro . Das Spiel besteht aus mehreren Runden, wobei zu Beginn die Chancen zu Gewinnen für beide gleich sind. Die 200 Euro hat gewonnen, wer zuerst fünf Runden gewinnt. Beim Spielstand von 4 : 2 muss das Spiel abgebrochen werden. Wie sollen die 200 Euro aufgeteilt werden?
Bemerkung:
Beim allgemeineren «Teilungsproblem von Pascal & Fermat» beträgt der Einsatz nicht 100, sondern E und der Spielstand nicht 4 : 2, sondern a : b.
Aufgabe 5 "Roulette"
Im Roulette landet eine Kugel in einem Kessel zufällig auf einem von 37 Feldern, welche mit den Zahlen 0, 1, 2, …, 36 beschriftet sind. Die Wahrscheinlichkeit, mit der die Kugel in einem Feld landet, ist dabei für jedes Feld gleich gross.
Eine Variante, um einen Einsatz zu tätigen, ist, auf eine Zahl zu setzen. Falls die Kugel dann auf dieser Zahl landet, so erhält man 36-mal seinen Einsatz zurück (inklusive des gelegten Einsatzes) und falls die Kugel woanders landet, so verliert man seinen Einsatz.
Im Casino Zürich wird an einem Roulette-Tisch pro Minute eine Runde gespielt. Bob hat ein „kleines“ Spielproblem und spielt immer einmal wöchentlich zwischen 20.00 und 24.00 Uhr ohne Unterbruch und setzt pro Runde jeweils immer 10 Euro auf eine Zahl. Mit wie viel Gewinn/Verlust ist nach einem Jahr zu rechnen?
Aufgabe 6 "Anaroc Virus"
Das neuartige Anoroc Virus hat sich verbreitet.
Es stellte sich heraus, dass der Verlauf der Krankheit davon abhängt, welche Blutgruppe man hat. 45% der Menschheit besitzt die Blutgruppe 0.
Die Statistik zeigt den Zusammenhang:
Blutgruppe 0: keine Symptome (12%), normaler Verlauf (86%), schwerer Verlauf (2%).
Restliche Blutgruppen: keine Symptome (36%), normaler Verlauf (54%), schwerer Verlauf (10%).
a) Jemand wird infiziert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a1) folgen keine Symptome?
a2) folgt ein normaler Verlauf?
a3) folgt ein schwerer Verlauf?
b) Je nach Verlauf der Krankheit wird mit unterschiedlichen direkten Kosten gerechnet (Arbeitsausfall, Arztbehandlung, Krankenhaus, …). Treten keine Symptome auf, so entstehen auch keine direkten Kosten. Bei einem normalen Verlauf rechnet man mit direkten Kosten in der Höhe von 4'500 Franken und bei einem schweren Verlauf mit 70'000 Franken.
b1) Welche durchschnittlichen direkten Kosten verursacht ein Infizierter?
b2) In Zürich wohnen 1'536'000 Personen. Insgesamt haben sich dort 28% mit dem Virus angesteckt. Wie hoch sind die dadurch zu erwartenden direkten Kosten?
Aufgabe 7 "Chuck a Luck"
Im Spiel "Chuck a Luck" kann man einen Einsatz auf eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 tätigen. Danach werden drei Würfel geworfen.
Erscheint nun bei keinem Würfel die Augenzahl, auf welche man gesetzt hat, so verliert man seinen Einsatz.
Erscheint die Zahl, auf welche man gesetzt hat, einmal, so darf man seinen Einsatz behalten und erhält zusätzlich einmal denselben Betrag.
Erscheint die Zahl, auf welche man gesetzt hat, zweimal, so darf man seinen Einsatz behalten und erhält zusätzlich zweimal denselben Betrag.
Erscheint die Zahl, auf welche man gesetzt hat, dreimal, so darf man seinen Einsatz behalten und erhält zusätzlich dreimal denselben Betrag.
Wie hoch ist der Erwartungswert, wenn man dieses Spiel n-mal spielt?
Aufgabe 8 "Sankt-Petersburg-Paradoxon"
Eine Münze wird so lange geworfen, bis Kopf erscheint, dann ist das Spiel beendet.
Erscheint beim ersten Wurf Kopf, so erhält man € 2.
Erscheint beim zweiten Wurf Kopf, so erhält man € 4.
Erscheint beim dritten Wurf Kopf, so erhält man € 8.
…
Erscheint beim n-ten Wurf Kopf, so erhält man € 2 hoch n.
Wie hoch soll bei einem fairen Spiel der Einsatz sein?
Wie weiter?
Wie du bisher vermutlich schon feststellen konntest, hat eLessons viel mehr zu bieten als gewöhnliche Lehrmittel.
Aber nur weil eLessons mehr Wert bietet, muss der Mehrwert nicht mehr kosten.
Schau dir doch unsere Preispläne an.
Mit unseren Angeboten haben deine SchülerInnen Zugang zu allen Kapiteln.