Der Erwartungswert
Mit Platz zum Lösen
Für die Lehrperson
Worum geht's?
In der beschreibenden Statistik (Vergangenheit) arbeitet man mit dem Mittelwert, dem Durchschnitt oder dem Median (siehe Beispiel).
Nun suchen wir in der Wahrscheinlichkeitstheorie (Zukunft) etwas Ähnliches.
Wir werden lernen, wie man den auf lange Sicht zu erwartenden Durchschnittswert gewisser Zufallsexperimente bestimmt.
Die Wahrscheinlichkeitsverteilung
Bis anhin haben wir Vorgänge betrachtet und haben dabei von einigen Ereignissen die Wahrscheinlichkeit berechnet. Berechnet man jedoch die Wahrscheinlichkeiten aller Ergebnisse, so benutzt man dafür den Ausdruck Wahrscheinlichkeitsverteilung.
Zufallsgrösse oder auch Zufallsvariable
In Zufallsexperimenten betrachten wir oft eine Grösse, welche vom Zufall abhängt.
Falls sich ein Zufallsexperiment auf eine Grösse bezieht, so nennt man diese Grösse Zufallsgrösse oder auch Zufallsvariable, da der Wert dieser Grösse vom Zufall abhängt.
Bei einer Zufallsgrösse gehört zu jedem Ergebnis also eine Zahl.
Erwartungswert Vorgehen
Interaktives Video
Hier gehen wir gemeinsam durch eine Aufgabe. Dabei stoppt das Video an den entscheidenden Stellen und stellt dir dabei Fragen.
Hab ich es verstanden?
AUFGABEN
Aufgabe 3 "Anna & Bob"
Anna bietet Bob ein Spiel an:
Eine Münze wird so lange geworfen, bis Kopf oder fünfmal Zahl erscheint.
Falls beim ersten Wurf Kopf erscheint, erhält Bob 0 €, falls beim zweiten Wurf Kopf erscheint, erhält er 1 €, falls beim dritten Wurf Kopf erscheint, erhält er 2 €, falls beim vierten Wurf Kopf erscheint, erhält er 3 €, falls beim fünften Wurf Kopf erscheint, erhält er 4 €, und falls in allen fünf Würfen Zahl erscheint, erhält er 10 €.
a) Bob bezahlt pro Spielrunde einen Einsatz von 2 €.
Nach 200 Runden hat er genug und hört auf zu spielen. Warum?
b) Wie hoch müsste der Einsatz sein, damit das Spiel fair ist?
(In einem fairen Spiel ist der Einsatz gleich dem zu erwartenden Gewinn.)
Aufgabe 4 "Teilungsproblem"
Zwei Spieler legen jeweils einen Geldeinsatz von 100 Euro in einen Topf und spielen ein Glücksspiel um diese 200 Euro . Das Spiel besteht aus mehreren Runden, wobei zu Beginn die Chancen zu Gewinnen für beide gleich sind. Die 200 Euro hat gewonnen, wer zuerst fünf Runden gewinnt. Beim Spielstand von 4 : 2 muss das Spiel abgebrochen werden. Wie sollen die 200 Euro aufgeteilt werden?
Bemerkung:
Beim allgemeineren «Teilungsproblem von Pascal & Fermat» beträgt der Einsatz nicht 100, sondern E und der Spielstand nicht 4 : 2, sondern a : b.
Aufgabe 5 "Roulette"
Im Roulette landet eine Kugel in einem Kessel zufällig auf einem von 37 Feldern, welche mit den Zahlen 0, 1, 2, …, 36 beschriftet sind. Die Wahrscheinlichkeit, mit der die Kugel in einem Feld landet, ist dabei für jedes Feld gleich gross.
Eine Variante, um einen Einsatz zu tätigen, ist, auf eine Zahl zu setzen. Falls die Kugel dann auf dieser Zahl landet, so erhält man 36-mal seinen Einsatz zurück (inklusive des gelegten Einsatzes) und falls die Kugel woanders landet, so verliert man seinen Einsatz.
Im Casino Zürich wird an einem Roulette-Tisch pro Minute eine Runde gespielt. Bob hat ein „kleines“ Spielproblem und spielt immer einmal wöchentlich zwischen 20.00 und 24.00 Uhr ohne Unterbruch und setzt pro Runde jeweils immer 10 Euro auf eine Zahl. Mit wie viel Gewinn/Verlust ist nach einem Jahr zu rechnen?
Aufgabe 6 "Anaroc Virus"
Das neuartige Anoroc Virus hat sich verbreitet.
Es stellte sich heraus, dass der Verlauf der Krankheit davon abhängt, welche Blutgruppe man hat. 45% der Menschheit besitzt die Blutgruppe 0.
Die Statistik zeigt den Zusammenhang:
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Blutgruppe 0: keine Symptome (12%), normaler Verlauf (86%), schwerer Verlauf (2%).
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Restliche Blutgruppen: keine Symptome (36%), normaler Verlauf (54%), schwerer Verlauf (10%).
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a) Jemand wird infiziert. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a1) folgen keine Symptome?
a2) folgt ein normaler Verlauf?
a3) folgt ein schwerer Verlauf?
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b) Je nach Verlauf der Krankheit wird mit unterschiedlichen direkten Kosten gerechnet (Arbeitsausfall, Arztbehandlung, Krankenhaus, …). Treten keine Symptome auf, so entstehen auch keine direkten Kosten. Bei einem normalen Verlauf rechnet man mit direkten Kosten in der Höhe von 4'500 Franken und bei einem schweren Verlauf mit 70'000 Franken.
b1) Welche durchschnittlichen direkten Kosten verursacht ein Infizierter?
b2) In Zürich wohnen 1'536'000 Personen. Insgesamt haben sich dort 28% mit dem Virus angesteckt. Wie hoch sind die dadurch zu erwartenden direkten Kosten?
Aufgabe 7 "Chuck a Luck"
Im Spiel "Chuck a Luck" kann man einen Einsatz auf eine der Zahlen 1, 2, 3, 4, 5 oder 6 tätigen. Danach werden drei Würfel geworfen.
Erscheint nun bei keinem Würfel die Augenzahl, auf welche man gesetzt hat, so verliert man seinen Einsatz.
Erscheint die Zahl, auf welche man gesetzt hat, einmal, so darf man seinen Einsatz behalten und erhält zusätzlich einmal denselben Betrag.
Erscheint die Zahl, auf welche man gesetzt hat, zweimal, so darf man seinen Einsatz behalten und erhält zusätzlich zweimal denselben Betrag.
Erscheint die Zahl, auf welche man gesetzt hat, dreimal, so darf man seinen Einsatz behalten und erhält zusätzlich dreimal denselben Betrag.
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Wie hoch ist der Erwartungswert, wenn man dieses Spiel n-mal spielt?
Aufgabe 8 "Sankt-Petersburg-Paradoxon"
Eine Münze wird so lange geworfen, bis Kopf erscheint, dann ist das Spiel beendet.
Erscheint beim ersten Wurf Kopf, so erhält man € 2.
Erscheint beim zweiten Wurf Kopf, so erhält man € 4.
Erscheint beim dritten Wurf Kopf, so erhält man € 8.
…
Erscheint beim n-ten Wurf Kopf, so erhält man € 2 hoch n.
Wie hoch soll bei einem fairen Spiel der Einsatz sein?