BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT
Zusätzliche Informationen oder Bedingungen können einen Einfluss auf die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses haben.
Bei der bedingten Wahrscheinlichkeit berechnet man die neue Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A unter Berücksichtigung der zusätzlichen Information (oder Bedingung) B.
Notation «Bedingte Wahrscheinlichkeit»
p(A|B) = Wahrscheinlichkeit für A, wenn bereits bekannt ist, dass B eingetreten ist.
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Zu p(A|B) sagt man auch bedingte Wahrscheinlichkeit für A unter der Bedingung B.
EINSTIEGSAUFGABE 1
In einer Online-Umfrage zur Nutzung von Video-Plattformen war Youtube mit 79% die beliebteste Plattform. Von den kostenpflichtigen Anbietern hatte Netflix mit einem Anteil von 58% Nutzern die Nase vorne. Von den Befragten gaben 11% an, dass sie weder YouTube noch Netflix benutzen.
In der folgenden Tabelle – die auch Vierfeldertafel genannt wird – sind die vorherigen Informationen eingetragen. Es muss nicht der Umfrage entsprechen, aber in der unteren rechten Ecke wurde zusätzlich die Zahl 1000 eingetragen (einfacher zum Rechnen).
a) Vervollständige die dazugehörige Vierfeldertafel
b) Es wird zufällig ein Befragter herausgepickt. Bestimme:
p(Y) =
p(kY) =
p(N) =
p(kN) =
p(sowohl Y als auch N) =
c) Von den YouTube-Nutzern wird zufällig jemand ausgewählt.
Wie hoch ist nun die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person Netflix-Nutzer ist p(N|Y)?
FORMEL «BEDINGTE WAHRSCHEINLICHKEIT»
Eine bedingte Wahrscheinlichkeit lässt sich berechnen durch
EINSTIEGSAUFGABE 2
Löse die folgende Aufgabe auf zwei unterschiedliche Arten:
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1. Durch eine Vierfeldertafel wie in der » Einstiegsaufgabe 1
(Tipp: Rechne mit 1000 Personen.)
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2. Durch Anwenden der » Formel
(Tipp: Berechne die Wahrscheinlichkeiten durch einen Baum.)
30% der Gäste eines Hotels sind blond (BH) und von diesen sind 60% blauäugig (BA). Von den Dunkelhaarigen (DH) sind es bloss 10%. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit,
a) dass eine Person dunkle Haare und blaue Augen hat?
b) dass eine dunkelhaarige Person blaue Augen hat?
c) dass eine blauäugige Person dunkle Haare hat?
EINSTIEGSAUFGABE 3 (GEGEN DIE INTUITION)
0.5% der Bevölkerung hat eine gewisse Krankheit. Zu dieser Krankheit gibt es einen Schnelltest, der zu 98% zuverlässig ist. Der Test zeigt also bei einer erkrankten Person zu 98% «positiv» und bei einer gesunden Person zu 98% «negativ» an.
Der Test zeigt bei einer Person «positiv» an. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person tatsächlich krank ist?
AUFGABEN
AUFGABE 1 "MEDIKAMENTEN-TEST"
Es gibt unterschiedliche Methoden, um Medikamente zu testen. In einer davon werden die Probanden in einer späten Phase zufällig in zwei Gruppen aufgeteilt (die Probanden wissen nicht, zu welcher Gruppe sie gehören), wobei eine Gruppe das echte Medikament und die andere ein Placebo (Nachbildung des echten Medikaments, aber ohne dessen Wirkstoff) erhält.
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Beim Test eines Medikaments erhielten 60% der Probanden das echte Medikament. Es zeigte bei 55% von ihnen die gewünschte Wirkung. Das Placebo zeigte bei 30% der restlichen Probanden die gewünschte Wirkung.
Löse die Aufgabe sowohl mit einer Vierfeldertafel als auch mit der Formel: Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a) erhielt jemand das echte Medikament und zeigte die gewünschte Wirkung?
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b) zeigte jemand die gewünschte Wirkung, der das echte Medikament erhielt?
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c) zeigte jemand die gewünschte Wirkung, der das Placebo erhielt?
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d) erhielt jemand das echte Medikament, der die gewünschte Wirkung zeigte?
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e) erhielt jemand das Placebo, der die gewünschte Wirkung zeigte?
AUFGABE 2 "EINBRUCH"
Der verbreitetste Einstieg für Einbrecher in Einfamilienhäuser sind Fenster (normale Fenster, Fenstertüren, Kellerfenster). Zu 86% gelangen sie so in das Haus. Wer sich so Zutritt verschafft, lässt in 54% der Fälle auch Bargeld mitgehen. Bei denjenigen, die über andere Wege in das Gebäude kommen, wird in 37% der Fälle Bargeld gestohlen. Es wurde in ein Einfamilienhaus eingebrochen. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit,
a) dass Bargeld gestohlen wurde?
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b) dass durch ein Fenster eingebrochen wurde, falls Bargeld fehlt?
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c) dass durch ein Fenster eingebrochen wurde, falls kein Bargeld fehlt?
AUFGABE 3 "SCREENING"
«Screening Aufgaben» sind typische Aufgaben zur bedingten Wahrscheinlichkeit.
Sie bestehen üblicherweise aus einem Test, der versucht etwas zu detektieren, wobei der Test aber nicht 100% genau ist. Beispielsweise sind Tests auf Krankheiten, Virenschutz für Computer und (Spam-) Filter Screenings.
In der Herstellung 3000 Exemplare eines Produkts in einer Fabrik haben 60 Exemplare Mängel. Die Fabrik hat ein Prüfsystem, welches Exemplare mit Mängeln ausfindig machen soll. Das Prüfsystem gab bei 80 Exemplaren Mängel an, wobei 54 davon tatsächlich Mängel aufwiesen.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat ein Exemplar, welches das Prüfsystem für
a) gut befand, einen Mangel?
b) mangelhaft befand, keinen Mangel?
AUFGABE 4 "NEUE CORONAIMPFUNG"
Die Coronaimpfung gegen die neuen Mutationen ist da. An einer Schule liessen sich 74% damit impfen. In den darauffolgenden 12 Monaten hatten an der Schule 32% Corona. Von den Geimpften hatten es 24%. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
a) hatte eine ungeimpfte Person Corona?
b) wurde jemand der Corona hatte geimpft?
c) wurde jemand der Corona hatte nicht geimpft?
AUFGABE 5 "PRÃœFUNG"
Es soll ein Test bestehend aus fünf Fragen geschrieben werden. Anna löst jede Aufgabe mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% richtig, Bob mit einer von 80%. Es wird eine Münze geschnippt, bei Kopf soll Anna und bei Zahl soll Bob den Test schreiben. Alle fünf Fragen wurden richtig gelöst. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat Anna den Test geschrieben?
AUFGABE 8 "ANONYME UMFRAGE"
In einer Umfrage sollen die Befragten zuerst im Geheimen zweimal eine Münze werfen und anschliessend eine Frage mit JA oder NEIN beantworten. Werfen die Befragten zweimal Kopf, so sollen sie mit einer Lüge und ansonsten ehrlich antworten. Am Ende der Umfrage liegt der JA-Anteil bei 40%.
(Tipp: Arbeite mit einem Baumdiagramm.)
a) Wie hoch ist in etwa der wahre JA-Anteil?
b) Jemand antwortet mit JA. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war die Antwort ehrlich?
AUFGABE 9 "KRANKHEIT 1"
2% der Bevölkerung hat eine gewisse Krankheit. Zu dieser Krankheit gibt es einen Schnelltest mit einer Sensitivität von 99% (der Test zeigt bei einer erkrankten Person zu 99% «positiv» an) und einer Spezifität von 96% (der Test zeigt bei einer gesunden Person zu 96% «negativ» an).
a) Der Test zeigt bei einer Person «positiv» an. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese Person tatsächlich krank ist?
b*) Nachdem der Test positiv anzeigte, macht die Person den Test nochmals und er ist erneut «positiv». Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit nun, dass diese Person tatsächlich krank ist?
AUFGABE 10 "GENETIK"
Ein gewisses Merkmal (könnte auch eine Krankheit sein), welches 15% der Menschheit besitzt, wird zu 40% an die eigenen Kinder weitergegeben, falls mindestens ein Elternteil es hat. Kinder von Eltern ohne erwähntes Merkmal können es trotzdem mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% erhalten. Wir betrachten ein Elternpaar.
a) Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Elternteil das Merkmal besitzt?
b) Das Elternpaar hat ein Kind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat mindestens ein Elternteil das Merkmal, falls ihr Kind es besitzt?
c*) Nun hat das Elternpaar zwei Kinder. Mit welcher Wahrscheinlichkeit hat mindestens ein Elternteil das Merkmal, falls ihre beiden Kinder es besitzen?
AUFGABE 11* "KRANKHEIT 2"
Zu einer Krankheit gibt es einen Schnelltest mit einer Sensitivität von 99% (der Test zeigt bei einer erkrankten Person zu 99% «positiv» an) und einer Spezifität von 96% (der Test zeigt bei einer gesunden Person zu 96% «negativ» an).
Zeigt der Test bei einer Person «positiv» an, so ist diese Person auch mit einer Wahrscheinlichkeit von 70% tatsächlich krank. Welcher Anteil der Bevölkerung hat die Krankheit?